HET REKENWERK | projectgroep-93

Het denkwerk.

Logica brengt je van A naar B, verbeelding brengt je overal.

Een krachtenanalyse is natuurlijk zeer belangrijk voor een ontwerp, niet alleen zie je hoe (en of) je ontwerp gaat werken, maar het is ook essentieel om de afmetingen van je ontwerp te bepalen. Omdat we die afmetingen in eerste instantie niet wisten hebben we een FBD gemaakt van ons ontwerp en met matlab een programma gemaakt waarin we makkelijk afstanden konden veranderen, zodat we wisten hoe groot onze onderdelen moesten zijn. We kunnen de berekeningen in twee delen opsplitsen: Het optillen (het moment om punt A) en het stabiel houden van de grijper (het moment om punt B). Voor deze twee berekeningen hebben we twee verschillende FBDs gemaakt en berekeningen in matlab gezet om te kijken hoe de krachten zich gaan verhouden als je een voorwerp optilt.

Het hefsysteem

Figuur 1: Free-Body Diagram van het hefmechanisme

Uitleg figuur 1:

A: de as van de hefboom

B: de as tussen de hefboom en het houten platform waar de grijper op zit

C: de plek waar de actuator aangrijpt op de hefboom (door middel van een touw om de as)

D: de plek waar de actuator vast zit aan het bord (CD is dus de werklijn van de kracht Fact)

G: het zwaartepunt van de grijper

H: het zwaartepunt van het houten platform

T: waar de veer vast zit aan het houten platform

V: de plek waar de veer vastzit aan de hefboom

Act: het zwaartepunt van de kleine actuator die de grijper aandrijft

beta: de hoek tussen de hefboom AB en de x-as

gamma: de hoek tussen Fact (CD) en de x-as

Fact: de kracht die de grote actuator levert om de hefboom op te tillen

GS: de zwaartekracht van de hefboom (S staat voor stang)

Gact: de zwaartekracht van de kleine actuator

GH: de zwaartekracht van het houten platform

GG: de zwaartekracht van de grijper plus een voorwerp

RAy: de verticale reactiekracht in A

RAx: de horizontale reactiekracht in A

Aannames:

- De massa van de veer en het touw tussen T en V en van het metalen plaatje waar de actuator aan vast zit zijn te verwaarlozen.

- Het zwaartepunt van de grijper ligt op dezelfde plek als het zwaartepunt van het voorwerp, in het midden van de grijpers (anders moet je van alle losse onderdelen van de grijper de massa en plaats berekenen en dan daar weer het zwaartepunt berekenen, terwijl de grijper vrij licht is ten opzichte van een voorwerp) .

- Er is geen wrijving in de assen.

- Het grijpergedeelte is altijd stabiel, dus de hoek die AB met de grond maakt is gelijk aan de hoek die TG met AB maakt.

- De grote actuator levert een kracht van minmaal 30 N en de actuatorstang kan maximaal 10 cm uitschuiven.

- Er treden geen vervormingen op.

Berekening:

∑MA = 0

sin(γ) * Fact * cos(β) * AC + cos(γ)*Fact *sin(β) * AC - Gs * cos(β) * 0.5 * AB - Gact * (cos(β) * AB - BE) - GH * (cos(β) * AB + BH) - GG * (cos(β) * AB + BG) = 0

Fact * (sin(γ) * cos(β) * AC + cos(γ) * sin(β) * AC) = Gs * cos(β) * 0.5 * AB + Gact * (cos(β) * AB - BE) + GH * (cos(β) * AB + BH) + GG * (cos(β) * AB + BG)

Fact = (Gs * cos(β) * 0.5 * AB + Gact * (cos(β) * AB - BE) + GH * (cos(β) * AB + BH) + GG * (cos(β) * AB + BG)) / (sin(γ) * cos(β) * AC + cos(γ) * sin(β) * AC)

Deze formule zetten we in matlab en alle afstanden en de hoek γ worden constanten die we zelf invullen en van beta maken we een lopende variabele tussen 0 en pi. Door eerst de afstanden te schatten en dan te kijken wat er uit komt kunnen we de uiteindelijke afstanden voor het ontwerp bepalen.

Naast de kracht van de actuator is ook de hoogte belangrijk om te weten, omdat we de minamale hoogte van 25 cm moeten bereiken. Omdat we aannemen dat het platform horizontaal blijft ligt het voorwerp op dezelfde hoogte als B, dus geldt voor de hoogte h:

h = sin(β) * AB

Constanten (zoals ze in het uiteindelijke ontwerp zijn geworden):

AB = 40 cm

AC = 15 cm

CD = sqrt(AD^2 + AC^2 - 2 * AD * AC * cos(π - β)) [cm]

CD0 = sqrt(AD^2 + AC^2) [cm]

CD10 = CD0 - 10 [cm]

BE = 5 [cm]

BT = 15 [cm]

BH = 5 [cm]

BG = 18 [cm]

BV = 15 [cm]

massaS = 2 * (AB + 6) * 0.5 * 5 * 1.18) / 1000 [kg]

massaact = 0.037 [kg]

massaH = 0.050 [kg]

massaG = 0.09444 + 0.5 [kg] (de 0.09444 is van de grijper zelf en de 0.5 is het maximale gewicht van het voorwerp)

Fact = 30 [N]

Gs = massaS * 9.18 [N]

Gact = massaact * 9.81 [N]

GH = massaH * 9.81 [N]

GG = massaG * 9.81 [N]

Met deze gegevens kunnen we de formules invullen en een grafiek plotten. In deze grafieken hebben we de hoogte uitgezet tegen de hoek beta en de kracht die de actuator moet leveren Fact tegen de hoogte, in het gebied dat CD 10 cm korter wordt. Je ziet dat de kracht van de actuator niet boven de 30 newton komt en de hoogte netjes boven de 25 centimeter zit.

Figuur 2: Een matlab grafiek die de hoogte uitgezet tegen hoek beta laat zien.

Figuur 3: Een matlab grafiek die de kracht van de grote actuator uitgezet tegen de hoogte laat zien.

Het grijpsysteem

Uitleg tekening:

Letters en krachten zijn gelijk aan die van vorige tekening

δ: hoek tussen BT en TV

Fv: Veerkracht

RBy: Reactiekracht verticaal in B

RBx: Reactiekracht horizontaal in B

Figuur 4: Een Free-Body Diagram van het grijpsysteem

Aannames:

- De massa van de veer en het touw tussen T en V en van het metalen plaatje waar de actuator aan vast zit zijn te verwaarlozen.

- Er is geen wrijving in de assen.

- Het grijpergedeelte is altijd stabiel, dus de hoek die AB met de grond maakt is gelijk aan de hoek die TG met AB maakt.

- Er treden geen vervormingen op.

Berekening:

We vinden TV door de cosinusregel toe te passen in ∆BVT:

TV^2 = BV^2 + BT^2 - 2 * BV * BT * cos(β)

TV = sqrt(BV^2 + BT^2 - 2 * BV * BT * cos(β))

Nu we een formule voor TV hebben afhankelijk van beta en dus de lengtes van alle drie de zijden kunnen we de cosinusregel opnieuw toepassen, maar nu om hoek delta te berekenen:

BV^2 = BT^2 + VT^2 - 2 * BT * VT * cos(δ)

cos(δ) = (BT^2 + TV^2 - BV^2) / (2 * BT * VT)

δ = acos((BT^2 + TV^2 - BV^2) / (2 * BT * VT))

Dan kan je nu de momentenevenwicht gebruiken om de benodigde veerkracht te berekenen:

∑MB = 0

sin(δ) * Fv * BT - BH * GH - BG * GG = 0

sin(δ) * Fv * BT = BH * GH + BG * GG

Fv = (BH * GH + BG * GG) / BT / sin(δ)

Omdat sin(δ) in de beginstand nul is (als beide delen vlak liggen is δ gelijk aan 2π) moet je in je grafiek de beginwaarden weglaten, anders raakt matlab in de war en tekent deze de functie niet goed. In mijn grafiek ben ik begonnen met tekenen vanaf een hoogte van ongeveer 7.5 cm, je ziet dat de veer daar een erg grote kracht nodig heeft, dus zal het voorwerp in het begin vrij schuin hangen, maar de benodigde kracht wordt steeds lager, dus zal hij wel recht komen te staan als hij eenmaal omhoog is.

Nu weten we wat onze veerkracht ongeveer moet zijn en is het alleen nog een kwestie van de juiste veer vinden, daar moeten we de standaardlengte en veerconstante voor weten.

Fv = cV * (TV - s0) / 100 (TV en S0 zijn in centimeters)

waar cv = veerconstante en s0 = standaardlengte veer

TV = 2 * BT * cos(δ)

Nu hebben we een formule met twee variabelen waarvoor je er niet zomaar een kan kiezen, dus hebben we gewoon verschillende veren gehaald en geprobeerd welke het beste werkte.

Figuur 5: Een matlab grafiek die de hoogte uitgezet tegen de benodigde kracht in de veer voor stabiliteit laat zien.

De simulatie van Gerrit de Grijper

Om te laten zien hoe de grijper uiteindelijk zal bewegen hebben we met matlab een simulatie gemaakt met de grijper in verschillende standen terwijl hij een voorwerp vast heeft. Dit is wel een idealisering, zo zal het bovenste gedeelte nooit precies recht staan, zeker niet in het begin, maar het geeft wel aan welke beweging de grijper maakt. Ook de actuator die de grijper zelf bedient is uit deze tekening weggelaten, simpelweg omdat deze overbodig is in deze beweging en de tekening alleen maar rommeliger zou maken.

Figuur 5: een simulatie van 5 verschillende standen van Gerrit de Grijper.